अनुपात एवं समानुपात: फार्मूला, ट्रिक, उदाहरण

अनुपात (Ratio) : अनुपात हमेशा दो सजातीय राशि में होता है। एक राशि का दूसरी राशि में भाग देने पर अनुपात प्राप्त होता है। जैसे यदि A राशि को B राशि से भाग दिया जाये, तब  को A तथा B का अनुपात कहते हैं। इसे निम्न प्रकार लिखते हैं :

अतः अनुपात A : B में A को प्रथम पद तथा B को द्वितीय पद कहा जाता है। यदि किसी अनुपात के प्रत्येक पद को 0 को छोड़कर किसी निश्चित संख्या से गुणा या भाग करते हैं तो वह अनुपात अपरिवर्तित रहता है।

अनुपात के गुण (Properties of Ratio)

a : b = m a : m b, जहाँ m एक स्थिरांक है।

a : b : c = A : B : C जो समतुल्य है  के।

यह एक महत्वपूर्ण गुण है जो तीन राशियों के अनुपात में उपयोग होता है।

यदि ,

तो 

अनुपात का यह गुण कम्पोनेंडो (Componendo) कहलाता है

उदाहरण के लिए : 

इसलिए, 

= 

यह गुण डिविडेंडो (Dividendo) कहलाता है।

उदाहरण के लिए: 

इसलिए, 

यह गुण कम्पोनेंडो और डिविडेंडो (Componendo and Dividendo) कहलाता है।

उदाहरण के लिए: 

इसलिए, = 

यदि 

तो  = प्रत्येक का अलग-अलग अनुपात

उदाहरण के लिए: 

इसलिए 

यदि A > B तब  जहाँ A, B और C प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

उदाहरण के लिए: 3 > 2,

तब, [क्योंकि ]

यदि A < B

तो 

जहाँ A, B और C प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

उदाहरण के लिए: 2 < 3,

तब, [क्योंकि ]

एक दी हुई राशि को दिये गये अनुपात में विभाजित करना

माना एक दी हुई राशि ‘a’ को अनुपात m : n में विभाजित करना है।

माना दी हुई राशि का एक भाग x है तो दूसरा भाग a – x होगा।

∴ 

या nx = ma – mx

या (m + n) x = ma

∴ पहला भाग है 

और दूसरा भाग होगा 

उदाहरण 1. 70 को 3 : 7 अनुपात में विभाजित कीजिए।

हल: माना पहला भाग x है, तो दूसरा भाग = 70 – x

∴ 

या  7x = 210 – 3x

या  x = 21 और 70 – x = 49

अतः 70 के दो अभीष्ट भाग 21 और 49 हैं।

किसी द्विआयामी चित्रों में, यदि भुजाओं का अनुपात x : y हो, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात x² : y² होगा।

उदाहरण 2. दो वृतों की त्रिज्याओं का अनुपात 2 : 5 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करें।

हल: उनके क्षेत्रफलों का अनुपात = 2² : 5² = 4 : 25

किसी त्रिआयामी चित्रों में, यदि भुजाओं का अनुपात x : y हो, तो उनके आयतनों का अनुपात x³ : y³ होगा। यदि दो संख्याओं का अनुपात a : b है और यदि प्रत्येक संख्या में x वृद्धि होने पर अनुपात c : d हो जाए तब, दो संख्याओं का योग

= 

दो संख्याओं का अंतर

= 

दो दी हुई संख्याएँ हैं

 और 

उदाहरण 3. दो संख्याओं का अनुपात 3 : 4 है। यदि प्रत्येक संख्या में 2 की वृद्धि हो, तो अनुपात 7 : 9 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात करें।

हल: संख्याएँ हैं

 और 

या 12 और 16

यदि दो संख्याओं का योग A और अंतर a हो, तो दी हुई संख्याओं का अनुपात A + a : A – a होगा।

उदाहरण 4. दो संख्याओं का योग 60 और अंतर 6 है। संख्याओं का अनुपात क्या होगा?

हल: संख्याओं का अभीष्ट अनुपात

या 11 : 9

समानुपात (Proportion)

जब दो अनुपात बराबर होते हैं तो वे समानुपात कहलाते हैं।

जैसे-  ⇒ A : B : : C : D यहाँ AD = BC

उदाहरण 5. यदि 12 : 18 : : x : 24 हो, तो x का मान कितना होगा?

हल: 12 : 18 : : x : 24

⇒ 12 × 24 = 18 × x

⇒ x =  = 16

समानुपात के प्रकार

निरंतर समानुपात: यदि तीन संख्याएँ a, b और c निरंतर समानुपात में हो, तो हम कह सकते हैं कि a, b और c समानुपात में हैं।

तो, 

b² = ac ⇒ b =

अतः हम कह सकते हैं कि ‘a’ पहला समानुपात, ‘c’ तीसरा समानुपात और ‘b’ मध्य समानुपात है।

प्रत्यक्ष समानुपात: यदि X, Y के प्रत्यक्ष समानुपाती हो तो किसी एक के बढ़ने या घटने पर दूसरे पर उसका सीधा प्रभाव पड़ेगा। यदि X बढ़ता है तो Y भी बढ़ेगा और यदि X घटता है तो Y भी घटेगा।

व्युत्क्रम समानुपात: यदि X, Y के व्युत्क्रमानुपाती हो यानी दोनों में किसी एक के बढ़ने या घटने पर दूसरे पर उसका व्युत्क्रम प्रभाव पड़ेगा। यदि X के बढ़ने पर Y घटे और X के घटने पर Y बढ़े तो इस समानुपात को व्युत्क्रम समानुपात कहते हैं।

• यदि चार राशियाँ समानुपात में हो तो किनारे की राशियों का गुणनफल, बीच की राशियों के गुणनफल के बराबर होता है।

माना a, b, c, d चार राशियाँ समानुपात में हैं, तो 

तब ad = bc

• यदि तीन राशियाँ a, b और c निरंतर समानुपात में हो, तो a : b = b : c

तब ac = b²

b मध्य समानुपात कहलाता है।

• यदि तीन राशियाँ समानुपात में हो तो पहली और तीसरी राशि का अनुपात, पहली और दूसरी राशि के अनुपात के समान होता है।

यदि a : b : : b : c तो a : c = a² : b²

मध्य समानुपात ज्ञात करना

उदाहरण 6. 3 और 75 के बीच मध्य समानुपात ज्ञात करें।

हल: माना x अभीष्ट समानुपात है, तो 3 : x : : x : 75

∴ x = 

जब चार राशियाँ समानुपात में हो, तो अज्ञात मान ज्ञात करनाः

उदाहरण 7. चार संख्याएँ 10, 18, 22, 38 में प्रत्येक में कौन-सी संख्या जोड़ी जाए कि वे समानुपात में हो जाएँ?

हल: माना कि अभीष्ट संख्या x है प्रश्न के अनुसार, हम पाते हैं

(10 + x) : (18 + x) : : (22 + x) : (38 + x)

⇒ (10 + x) (38 + x) = (18 + x) (22 + x)

⇒ 380 + 48x + x² = 396 + 40x + x²

⇒ 380 + 48x = 396 + 40x

⇒ 48x – 40x = 396 – 380

⇒ 8x = 16

⇒ 

अतः चारों दी हुई संख्याओं में, 2 जोड़ी जानी चाहिए।

चौथा समानुपात ज्ञात करना

उदाहरण 8. p² – pq + q², p³ + q³, p – q का चौथा समानुपात ज्ञात करें।

हल: माना x चौथा समानुपात है

∴ (p²– pq + q²) : (p³ + q³) = (p – q) : x

⇒ (p² – pq + q²) × x = (p³ + q³) (p – q)

∴ 

⇒ 

⇒ 

∴ अभीष्ट चौथा समानुपात p² – q² है।

तीसरा समानुपात ज्ञात करना

उदाहरण 9. a² – b² और a + b के बीच तीसरा समानुपात ज्ञात करें।

हल: माना x अभीष्ट तीसरा समानुपात है,

तब, a² – b² : a + b = a + b : X

∴ (a² – b²) x = (a + b) (a + b)

∴